Recuerdos de Pandora » Matemáticas

¿Qué probabilidad hay de que estés respirando una molécula del último suspiro del César?

Milhaud — Tue, 25 Oct 2011 20:07:13 +0000

Nuestra percepción numérica de la realidad nos hace tener malas pasadas. Nadie tiene un conocimiento lo suficientemente amplio como para poder evaluar de forma instantánea una afirmación cualquiera, lo que nos lleva a sorprendernos ante hechos que analizados detenidamente resultan ser algo bastante evidente.

Hace no mucho tiempo se publicó en varios medios una noticia hablando de un 70% de los españoles descendemos de Tutankamon. No voy a negar que a mí esa afirmación me sorprendió nada más leerla. Pero cuando se analizan los datos, estos resultaron ser mucho menos llamativos. Carlos Chordá publicó en Amazings.es una interesante reflexión esto. Leyendo los números, podemos ver que no sólo Tutankamon, sino cualquier coetáneo puede tener igual número de descendentes entre el total de los españoles.

Aurora (Guercino) (fuente)

Ahora, volvamos a la pregunta con la que titulé esta entrada. ¿Qué es lo que pensasteis nada más leer el título de esta entrada? ¿Es muy probable o poco probable? Yo voy a reconocer que la primera vez que escuché la pregunta, de primeras me pareció poco probable, pero haciendo números la realidad resultó ser bastante sorprendente.

Primero pongámonos sobre el escenario. Julio César murió en el año 44 antes de nuestra era. Desde han pasado más de 2.000 años y podemos asumir que es el tiempo suficiente para que todas las moléculas del último suspiro de Julio César se mezclen de forma homogénea en la atmósfera, y que tan sólo un número residual de esas moléculas se han quedado atrapadas en el océano, en la tierra o han sido expulsadas al espacio exterior.

La masa estimada de la atmósfera de la Tierra es 5×10^18 Kg. Teniendo en cuenta la composición de la atmósfera y el peso molecular de cada una de las moléculas que la componen, podemos obtener que la atmósfera está compuesta de aproximadamente 10^44 moléculas.

Aurora (Guercino) (fuente)

La estima que una persona media respira 7,2 Kg de oxígeno al día y que aproximadamente respiramos 15.000 veces. Por lo que, teniendo en cuenta el peso molecular del oxígeno, podemos saber que cada vez que respiramos introducimos 8,3×10^21. Sabiendo además que el oxígeno supone aproximadamente el 21% de las moléculas de la atmósfera, podemos concluir que un suspiro tiene 4×10^22 moléculas.

Ya que Julio César estaba muy débil justo cuando dio su último suspiro, no nos olvidemos que estaba a punto de morir, podemos hasta dividir entre 2 el número de moléculas de un suspiro normal entre dos para calcular el suspiro. Así que, quedémonos con un total de 2×10^22 moléculas en el último suspiro de Julio César.

Conociendo estos números, tenemos una probabilidad de inspirar una molécula en particular del último suspiro de Julio César de 2×10^-22. Hablando en números familiares para todos, es más probable que te toque el Euromillones que respirar una molécula en particular del último suspiro de Julio César.

Aurora (Guercino) (fuente)

Pero claro, no tenemos que olvidar que el César expulsó un total de 2×10^22 moléculas en su último suspiro, no una única. Si evaluamos la probabilidad de que ninguna de las moléculas del último suspiro del César esté en una inspiración nuestra obtenemos una cifra sorprendentemente pequeña: 0,018 (cálculo detallado aquí).

Lo que es lo mismo. Las posibilidades de inspirar aire para llenar nuestros pulmones y meter en nuestro cuerpo una molécula del último suspiro de Julio César es del 98,2%. Así que, mientras habéis leído este artículo, lo más probable es que hayáis inspirado más de una molécula del César, e incluso que esté aún esté dentro de vuestros pulmones.

Nota: Viendo los comentarios, parece que muchos no han entendido (o no han querido entender) el verdadero fin de este artículo. Se trataba simplemente de jugar con grandes números para hacer ver lo poco finos que nos andamos con ellos. Por supuesto que he hecho estimaciones burdas y seguramente incorrectas, pero en realidad no creo que sea relevante el porcentaje correcto.

Las moléculas de nitrógeno, que componen el 78% de la atmósfera terrestre, están considerados un gas quasi-inerte, ya que tan sólo se rompe durante tormentas eléctricas o incendios, por ello su ciclo de vida es mucho mayor que el de otros gases como el CO2, cuyo ciclo de vida se estima en 200 años. Incluso suponiendo que la décima parte de las moléculas de nitrógeno del último suspiro del César hubieran desaparecido por reacciones químicas, aún estaríamos hablando de un 4% de probabilidad de que en cada suspiro estuviéramos inhalando una molécula del último suspiro del César

Fuentes y más información:

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Otras entradas que pueden resultar interesantes:

Georg Cantor, el club de Groucho y el tamaño del infinito

Milhaud — Sun, 03 Jul 2011 17:46:16 +0000

Georg Cantor ha pasado a la historia por ser el matemático que, junto a Richard Dedekind y Gottlob Frege, introdujo la novedosa teoría de conjuntos. Aún así, son muchos los que prefieren admirarle por osar adentrarse en las complejas teorías del infinito, siendo el primero en exponer que no existe un único infinito y que unos pueden ser más grandes que otros.

Esto es algo que a priori puede resultar poco intuitivo, de hecho, es algo que nadie se había atrevido a afrontar hasta que Cantor lo hizo. Pero Cantor contaba con una herramienta que todos sus predecesores no habían tenido, la teoría de conjuntos de la que se le puede considerar padre.

I: Georg Cantor

Primero, antes de adentrarnos en materia, un concepto muy simple: siempre hay más conjuntos de cosas que cosas. Esto se puede mostrar de forma intuitiva con un conjunto finito de elementos, por ejemplo dos {a, b}. Con dos elementos, podemos sacar un total de cuatro conjuntos: {a}, {b}, {ø} y {a, b}. ¿Pero qué sucede si intentamos expandir esto hasta el infinito?

Para explicar esto, Cantor recurrió a imaginar un mundo en el que viviera un número infinito de personas. En ese mundo, existirían todos los clubs posibles. El menos exclusivo de todos los clubs sería el club universal, aquel que tendría como miembros a todos los habitantes del mundo. En el otro extremo estaría el club más exclusivo, el club vacío, del que ninguna persona podría ser miembro. Todos estamos de acuerdo en que, si existe un número infinito de personas, el número de clubes también tiene que ser infinito. Pero, ¿cómo de grande es este infinito?

Si queremos demostrar que el infinito número de personas y el infinito número de clubes son el mismo infinito (o más correctamente, tienen el mismo tamaño), tendremos que conseguir emparejar a los elementos del primer grupo con los elementos del segundo grupo uno a uno. Si hacemos esto, nos encontraremos con que unas personas estarían emparejadas con clubes de los que formarían parte, mientras que otras estarían emparejadas con clubes de los que no formarían parte.

Ahora supondremos un club posible dentro de ese número infinito de clubes. Este club, al que Georg Cantor llamó el club de Groucho, estaría formado por todas las personas que están emparejadas con un club del que no forman parte. Como el emparejamiento entre clubes y personas tiene que ser completo, tendrá que existir una persona que también esté emparejada con el club de Groucho.

II: Símbolo del infinito (fuente)

Y aquí llega lo interesante. La persona que está emparejada con el club de Groucho, ¿es miembro del club de Groucho o no? Supongamos que sí que es miembro del club de Groucho. Eso significaría que el debe ser excluido del club con el que está emparejado, de tal modo que no sería miembro del club de Groucho. Pero si no es miembro del club de Groucho, estaría emparejado con un club del que no es miembro, por lo que debería ser miembro del club de Groucho.

No importa las vueltas que demos al asunto que siempre llegaremos a la misma contradicción. ¿Y cómo hemos llegado a esta contradicción? Suponiendo que las personas no pueden emparejarse uno a uno con los clubes. Por lo tanto, esta suposición tiene que ser falsa, lo que implica que el infinito del grupo de cosas es mayor que el infinito de cosas.

Esto, que explicado así puede parecer evidente, a Georg Cantor le supuso un aluvión de críticas. Como siempre, las más persistentes fueron del sector más conservador y cercano a la iglesia, que veían el concepto de infinito como una amenaza a la propia idea de Dios. Pero también obtuvo críticas de matemáticos coetáneos alejados de la iglesia, como Leopold Kronecker.

En cualquier caso, las ideas de Cantor supusieron una gran revolución a las matemáticas, tirando y reconstruyendo muchos de los pilares en los que se había sustentado las matemáticas durante siglos.

Nota: Aunque tarde, este artículo forma parte del Carnaval de Matemáticas 2.5., esta vez en Juegos Topológicos, el blog de Mago Moebius.

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Los números de Münchhausen

Milhaud — Tue, 24 May 2011 17:33:08 +0000

Karl Friedrich Hieronymus, más conocido como el Barón Münchhausen, no fue un tipo excesivamente peculiar. De hecho, podría haber pasado a la historia como uno de los muchos capitanes de los muchos ejércitos militares que han combatido en las muchas guerras que se han sufrido a lo largo de la historia.

Cuando se retiró del frente militar, a mediados del siglo XVIII, se fue a vivir con su esposa a Bodenwerder (actual Alemania). Allí, como cualquier militar veterano de la época, se dedicó a contar en la taberna la grandeza de sus campañas. Cómo muchos otros, exageró sus historias hasta la saciedad, con el objetivo de conseguir algo de atención.

I: Barón de Münchhausen (1740)

Y si todas hubieran muerto con él, posiblemente su nombre se hubiera perdido en la historia, pero un anónimo las recopiló y las perpetuó para la historia en un libro publicado en 1781 con el nombre de Narración de los Maravillosos Viajes y Campañas del Barón Münchhausen en Rusia (que por cierto, fue adaptada al cine por Terry Gilliam, de los Monty Pyton).

En este libro, que con el paso de los años sufrió muchas ampliaciones gracias a los cuentos folclóricos de la zona, encontramos hazañas tan poco creíbles como su viaje a la Luna, la vez que cabalgó una bala de cañón o la vez que consiguió escapar de una ciénaga tirando de su propio pelo. Estas historias, imposibles a todos los efectos, hicieron que el Barón Münchhausen haya pasado a la historia como una persona que tuvo que mentir y exagerar para poder llamar la atención.

Precisamente por esta peculiaridad del Barón Münchhausen, se dio nombre al Síndrome de Münchhausen, un trastorno psiquiátrico que hace que los enfermos finjan dolencias o incluso se las provoquen para llamar la atención del personal sanitario. Pero hoy no quería quedarme con eso, sino con los números de Münchhausen.

Estos números, también conocidos en inglés PDDI (Perfect digit-to-digit invariant), tienen la peculiaridad de que si tomamos todas las cifras que componen el número, las elevamos a sí mismas y sumamos los resultados de todas las cifras obtenemos el número original.

Pensando rápido, posiblemente encontréis el primer número Münchhausen, el 1. Pero si seguís probando, estaréis mucho tiempo hasta encontrar el siguiente número Münchhausen. De hecho, si no os valéis de un ordenador, posiblemente pasarían días y mucho aburrimiento hasta que llegaseis al número 3435 (siempre hablando en base 10).

II: 3435, número de Münchhausen

Después podríamos seguir buscando más números de Münchhausen, pero no seremos capaces de encontrar ninguno. De hecho, podemos afirmar que la cantidad de números de Münchhausen es finita, ya que a partir de un número será imposible que los dígitos elevados a sí mismos y sumados después lleguen a alcanzar el valor del número original. La demostración formal la podéis encontrar en este PDF (no excesivamente compleja).

Posiblemente en algunos sitios encontréis que los números 0 y 438579088 también son considerados números de Münchhausen. Esto está ocasionado por considerar que el cero elevado a si mismo vale cero, en vez de la unidad como ya demostró Gaussianos en esta entrada de su blog.

Estos números en muchas ocasiones se considera un grupo dentro de los números narcisistas, agrupándolos con los números de Armstrong (los que normalmente son llamados narcisistas), los números de Dudeney o los números de Friedman.

¿Y por qué este tipo de números llevan el nombre del Barón Münchhausen? Pues no existe ningún documento o artículo que determine cómo se tomó esta decisión, pero sí que podemos intentar elucubrar un poco al respecto. El número 3435 podría ser un número cualquiera, un número que nunca habría llamado la atención de nadie de no ser por esta extraordinaria y, por qué no, rebuscada propiedad. Al fin y al cabo, describe en cierto modo la propia vida del Barón Münchhausen.

Nota: Este artículo forma parte del Carnaval de Matemáticas 2.4., esta vez en casa de seispalabras, el blog de Clara Grima.

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La forma de los huevos: geometría y evolución

Milhaud — Mon, 04 Apr 2011 19:53:01 +0000

La forma de los huevos de las distintas especies de aves existentes ha resultado durante muchos años todo un misterio. Su forma parece variar de forma arbitraria de unas especies a otras, sin que fuese fácil encontrar parámetros que dieran sentido a esas formas. Intuitivamente, parece que lo más correcto es pensar que la forma de los huevos está directamente relacionada con la fisionomía del ave, así como de la posición que utilizan a la hora de poner los huevos.

Pero eso no explicaría por qué algunas aves como el avestruz producen huevos completamente redondos, pese a tener una fisionomía similar a otras aves que ponen huevos de forma ovalada. En este caso, también se podría intentar explicar la forma de los huevos esféricos con el fin de conseguir que su consistencia fuese lo más dura posible. Pero de nuevo esto no explicaría el caso de aves como las palomas y muchas aves acuáticas, cuyos huevos tienen forma puntiaguda.

I: Huevos de gallina

En esta línea, Zoltan Barta, de la Universidad húngara de Debrecen, y Tomas Szekely, de la Universidad de Bath, publicaron en 1997 un artículo en la revista “Functional Ecology” con el título The optimal shape of avian eggs (la forma óptima de los huevos de las aves) en el que pretendían explicar de forma extensa las razones por las que las formas de los huevos varían tanto de unas especies de aves a otras.

Para entender todo, primero hemos de entender cómo se forman los huevos. Cuando el óvulo del ave llega al istmo (el conducto que une las trompas de falopio y el útero), las células del mismo empiezan a segregar la sustancia calcárea que protegerá el óvulo. En condiciones normales y neutrales, el huevo obtendrá una forma esférica, pero las hembras pueden manejar los músculos de la pared del istmo, de tal modo que esta forma esférica pueda ser modificada.

Barta y Sekely sondearon más de 30 aves, observaron la forma de sus huevos, y las relacionaron con la cantidad de huevos que cada hembra incubaba de forma simultánea. Los resultados fueron sorprendentes. De algún modo, se percataron de que las aves habían adquirido la capacidad de moldear sus huevos para optimizar la incubación de los mismos, en función de la cantidad de ellos que tuvieran que incubar.

En la línea de este descubrimiento, desarrollaron un modelo matemático para encontrar las formas de los huevos que optimizaban la incubación de los mismos, sin olvidarse de que los huevos tendían a una forma esférica para garantizar el superar una fragilidad mínima. Los resultados fueron los siguientes.

II: Forma óptima de los huevos de las aves

De este modo, la hembra garantizaría el máximo de transferencia de calor, siendo en cierto modo óptima su incubación. Estos resultados teóricos expuestos por Barta y Szekely resultaron corresponderse sorprendentemente con los ejemplos encontrados en el mundo real, como sería el caso de las palomas, las avestruces o los chorlitos.

Pero esta teoría, no es extrapolable a todas las aves, ya que siempre hay que tener en cuenta las condiciones específicas de cada especie y hábitat. Esta es la razón por la que los araos tienen una extraña forma de huevo que se asemeja a una pera. Los araos habitan en altos acantilados, y por ello, a modo de sofisticado efecto evolutivo, sus huevos tienen como prioridad el impedir que pueda rodar fácilmente hacia abajo.

Nota: Este artículo forma parte de la tercera edición del Carnaval de Biología, celebrado en casa de El Pakozoico

Fuentes y enlaces recomendados:

Fibonacci: el hombre que introdujo la numeración árabe en Europa

Milhaud — Tue, 11 Jan 2011 19:37:46 +0000

El sistema numérico decimal, posiblemente sea uno de los avances más grandes de las matemáticas a lo largo de la historia. Se trata de algo tan arraigado en la cultura y el lenguaje que lo encontramos natural, como si siempre hubiera estado ahí, lo cual no es cierto. El sistema numérico comúnmente utilizado, consiste de los conocidos como números árabes. Estos números tienen su origen en la India hace unos 5.000 años (ver más en El origen de las matemáticas), pero fue gracias a los árabes como su difusión llegó a Europa en los tiempos de Al-Ándalus.

Antes de todo esto, en occidente estaba extendido el uso del sistema de numeración romano. Éste sistema, pese a que fue útil durante mucho tiempo, no permitía realizar operaciones complejas. Prácticamente todo el mundo podía sumar y restar, pero cuando alguien quería llevar a cabo operaciones más complejas, tales como la multiplicación o la división, tenían que recurrir a matemáticos profesionales, pese que a día de hoy se consideran operaciones bastante sencillas.

I: Evolución de los números según J.E. Montucla

El sistema de numeración árabe, al igual que el sistema romano, tiene un número limitado de cifras. El sistema romano consiste en siete cifras (I, V, X, L, C, D y M), mientras que el sistema árabe tiene tres más (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0). Pero la gran diferencia no consiste en el cambio de las cifras, si no en su utilización. A diferencia de las cifras romanas, que tienen un valor concreto por sí mismas, las cifras árabes varían su valor real dependiendo de la posición que ocupan. De tal modo que, cuando escribimos 123, el 1 representa cien, el 2 representa veinte y el 3 representa tres.

Además de esto, el sistema de numeración árabe, introduce otro gran avance: la existencia del 0. Ahora nos parece evidente que tiene que existir un número que no tiene valor alguno, pero no tenía tanto sentido en la época romana. Los romanos, como ya hemos dicho, tenían cifras que tenían un valor único por sí mismas, por lo tanto, de haber creado una cifra para el 0, esta únicamente habría valido cero ¿Y cuál es la utilidad del valor cero? Para los romanos, ninguna.

En la introducción del sistema de numeración árabe, hubo un hombre que fue clave, el italiano Leonardo Fibonacci. Éste mercader pasó una larga temporada en Bujía, cerca de Argel, donde su padre era empleado de aduana. Allí conoció a varias personas cuyo idioma materno era el árabe, de los que aprendió su sistema de numeración y las ventajas del mismo. Una vez de vuelta a Italia, tomó el sistema numérico árabe y lo tradujo en el tratado “Liber abacci”, que fue por primera vez publicado en 1202, aunque no se publicó la versión definitiva hasta 1228. Como dato curioso, Fibonacci mantuvo el orden de los números según la escritura árabe, es decir, de derecha a izquierda, en vez de invertirlo para conseguir el equivalente a la escritura latina.

II: Leonardo Fibonacci

Aquel libro, además de incluir la numeración posicional árabe, también introducía las operaciones de cálculo básico llevadas a cabo con ellos, en forma de números enteros y fraccionarios. También detallaba la avanzada trigonometría y álgebra de los árabes. Esto supuso un avance tan importante para las matemáticas, que en los tres siglos siguientes las soluciones y descubrimientos de Fibonacci se mantuvieron como punteros en todo Occidente.

El libro de Fibonacci, pese a haber sido escrito a comienzos del siglo XIII, no consiguió difundirse plenamente por Europa hasta finales del siglo XVI. Las razones son diversas, aunque según historiadores como Le Goff y Burucúa hay que destacar el hecho de que “Liber abaci” era un libro de carácter ‘no oficial’, concebido fuera de los círculos académicos, por lo que su contenido no tenía la prioridad que otros sí que tenían.

También se encontró una fuerte oposición en el problema de la interpretación de los números árabes a causa del sentido de su escritura. El árabe se escribe de derecha a izquierda, a diferencia de todas las lenguas occidentales que se escriben de izquierda a derecha. Esto causó que al comienzo no hubiese unificación a la hora de leer los números árabes, que finalmente se introdujeron leyéndose en el mismo sentido que el árabe.

Notas aclaratoria: Este artículo ha suscitado fundamentalmente dos polémicas. Muchos han comentado que es el Papa Silvestre II (Gerberto de Aurillac) el que verdaderamente introdujo los números. La verdad es que Gerberto obstenta la primera referencia a los números árabes en occidente, a finales del siglo X, pero se considera a Fibonacci como la persona que más contribuyó a su distribución y divulgación gracias a “Liber abaci”.

Sobre el tema de la religión y la expansión de los número árabes, he editado el texto gracias a unas aclaraciones enviadas por Juan Pablo. Me guié por unas referencias econtradas en un único libro que me parecieron coherentes (error mío). En realidad es algo posilbe, pero no directamente justificable con los datos históricos disponibles.

Nota: Este artículo forma parte de la décima edición del Carnaval de Matemáticas, esta vez en casa de Francis (th)E mule Science’s News.

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El día que Gauss decidió convertirse en matemático

Milhaud — Sat, 18 Dec 2010 22:15:48 +0000

Se puede decir que Carl Friedrich Gauss es a las matemáticas, lo que Isaac Newton es a la física. Es difícil tomar un libro de matemáticas y no encontrar su nombre por algún lado. Ya no sólo por todo lo que hizo como matemático, si no por todas las cosas a las que dio nombre: “La campana de Gauss”, “El método de Gauss”, “El entero de Gauss”, “El teorema de Gauss”…

Por todo lo que fue como matemático, y lo que fue como persona, es fácil encontrar multitud de historias realmente impresionantes en torno a Gauss. La que hoy voy a rescatar posiblemente no sea tan llamativa como la de Mandelbrot y la infinita costa de Inglaterra, pero supone un hito en la historia de las matemáticas, ya que fue el día que Gauss se decantó definitivamente por las matemáticas.

I: Carl Friedrich Gauss

Retrocediendo a tiempos de la Antigua Grecia, nos encontramos con los grandes matemáticos griegos. Entre otros muchos temas, indagaron mucho en la geometría, avanzando sorprendentemente en su estudio, pero también fueron extremadamente meticulosos con muchos aspectos de las mismas.

Según los griegos, para cumplir una exigencia de rigurosidad, no estaba autorizado que se utilizase para las construcciones geométricas algo más allá de la regla y el compás. Al igual que todas las matemáticas griegas, esta ‘prohibición’ se mantuvo hasta pasada la Edad Media.

Llegados al siglo XVIII, los matemáticos no habían establecido aún claramente cuáles eran los polígonos regulares construibles de acuerdo con las condiciones griegas. De hecho, eran incapaces de determinar si existía algún modo de dibujar un heptadecágono (polígono regular de 17 lados) valiéndose únicamente de un compás y una regla.

II: Heptadecágono

Fue entonces cuando apareció la genialidad de Gauss. En 1796, cuando tan sólo contaba con 19 años, encontró la forma de construir el heptadecágono respetando las normas griegas. A priori puede parecer un avance matemático irrelevante, sobretodo si lo comparamos con todo lo que consiguió Gauss a lo largo de su vida. Aún así, este supuso el mayor avance en 2.000 años en el estudio de los polígonos regulares.

Este fue el punto de inflexión gracias al que Gauss se decantó de forma definitiva por las matemáticas, dejando de lado la filosofía. De hecho, esto llevó a Gauss al deseo de decorar su lápida con un heptadecágono. Después de su muerte, en 1855, el encargado de esculpir su lápida se percató de la dificultad de llevar a cabo este deseo sin que la figura fuera confundida con un círculo, por lo que finalmente se decantó por esculpir una estrella de 17 puntas.

Nota: Este artículo forma parte de la novena edición del Carnaval de Matemáticas, esta vez en casa de Rescoldos en la Trébede.

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Mandelbrot: ¿Cuál es la longitud de la costa de Gran Bretaña? Infinito

Milhaud — Mon, 18 Oct 2010 19:08:02 +0000

A lo largo de este fin de semana en Twitter comenzaron a aparecer rumores sobre la muerte de Mandelbrot el pasado 15 de Octubre. Lamentablemente, a lo largo del sábado varios medios fueron confirmando la noticia convirtiéndolo en un hecho. Desde entonces, los homenajes en la blogosfera hispana se han sucedido, como los que podemos encontrar en Amazings.es, Microsiervos, Enchufa2 o Francis: (th)E mule Science’s News. Yo por mi parte, quiero homenajearle contando una anécdota con la que revolucionó el mundo de la geometría.

I: Benoît Mandelbrot

Los matemáticos siempre consideraron a Benoît Mandelbrot un tipo especial, incluso eran muchos los que excluían del campo de las matemáticas. Pero él siempre se sintió orgulloso de ser un osado que intentaba encontrar nuevos prismas con los que observar de otro modo la realidad. Investigó la teoría de juegos, la distribución de palabras en la literatura e incluso se adentró con éxito en la ciencia económica, estudiando la distribución de las grandes y las pequeñas rentas en una economía.

Todas estas ideas revolucionarias revoloteaban en la cabeza de Mandelbrot gracias a su heterodoxo modo de concebir las matemáticas. Pero todos estos estudios se convirtieron en convencionales cuando un artículo de Lewis F. Richardson cayó en las manos de Mandelbrot. En ese artículo, Richardson estaba intrigado por qué al comparar distintas enciclopedias la longitud de las costas de países como España, Portugal o Bélgica tenían discrepancias de hasta un 20% de una a otra. ¿Cuál era la razón de diferencias tan grandes al medir algo conocido por todos? ¿Por qué los españoles cuando medían su frontera obtenían un valor distinto al que obtenían los portugueses midiendo la misma frontera?

En 1967, Mandelbrot presentó su artículo How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension en un congreso científico dejando perplejos a todos los asistentes. Mandelbrot preguntó directamente a sus colegas cuál era la longitud de Inglaterra, sin obtener una respuesta concisa de ninguno de ellos. Algunos optaron por decir simplemente que no era su campo, mientras que otros se aventuraron a buscarlo en la enciclopedia. Pero para Mandelbrot ambas respuestas fueron insatisfactorias. La única respuesta precisa posible a esa pregunta era una: infinito.

II: Medición de Gran Bretaña con 200Km de segmento

Los topógrafos, cuando se aventuran a medir la longitud de una línea costera utilizan un metro o compás de longitud definida. Pongamos que utilizan tramos rectos de 200km para medir la costa de la isla de Gran Bretaña. El resultado que obtendrán será aproximadamente de 2.400Km, tal y como muestra la imagen superior.

Cualquiera puede determinar que esta aproximación es burda y harto de imprecisa. Entonces será mejor que tomemos un tramo recto de medición menor, 50Km por ejemplo. En este caso, el resultado de la medición de la longitud de la costa será superior al caso anterior, 3.400Km. La explicación es sencilla, ya que ahora hemos tenido la oportunidad de medir rescoldos que antes habían quedado totalmente obviados. ¿Pero es esta aproximación suficiente? Seguramente no.

III: Medición de Gran Bretaña con 50Km de segmento

En 50 Km de distancia estaremos obviando multitud de cabos y bahías que aumentarían la línea costera. Pero ¿dónde se encuentra el límite a esta medición? El sentido común nos haría pensar que en algún punto las estimaciones terminarían convergiendo llegando al verdadero valor de la longitud costera. Y esto sería cierto si la línea costera mantuviera una geometría euclídea, la geometría que todos hemos aprendido, pero la realidad es que la naturaleza no se rige por la geometría euclídea.

Mandelbrot halló que a medida que la escala de medida se hace más pequeña, la longitud del litoral costero crece sin límite. Tan sólo cuando se llega a escala atómica se puede terminar ese proceso recurrente, y eso suponiendo que en algún momento encontremos las partículas elementales e indivisibles a las que apuntan todas las teorías modernas.

IV: Fractal: Conjunto de Mandelbrot

Si bien Mandelbrot en aquel artículo de 1967, ni en el congreso en el que presentó el artículo, mencionó en ningún momento el término fractales, este fue el comienzo de la concepción de la geometría fractal. No sería hasta 1975 cuando Mandelbrot introduciría este término con el que revolucionó un campo de las matemáticas que estaba intacto desde la antigua Grecia, la geometría.

Nota: Este artículo forma parte de la séptima edición del Carnaval de Matemáticas.

Fuentes y más información:

El origen de las matemáticas

Milhaud — Tue, 20 Jul 2010 21:31:58 +0000

Las matemáticas, como cualquier otro avance en la historia de la humanidad, parte de las necesidades del ser humano de contar, medir y determinar la forma de todo aquello que le rodeaba. Pero la realidad es que, determinar un origen concreto para la aparición de cada uno de los conceptos que sientan las bases de las matemáticas es bastante más complejo que establecer el origen de la rueda, o el origen de la cartografía.

Para comenzar, hay que tener en cuenta que recientes estudios en la capacidad cognitiva de los animales han determinado que los números, mediciones y formas no son conceptos únicos del ser humano. Con los datos de estos estudios, se puede presuponer que los conceptos matemáticos aparecen en las sociedades cazadoras-recolectoras, aunque no en todas de la misma forma. Un ejemplo de la diferente evolución de las matemáticas (de los números más concretamente) en diferentes culturas se puede ver en el hecho de que existen algunos idiomas de tribus aisladas que no establecen la distinción entre cualquier número, utilizando únicamente como números “uno”, “dos” y “varios”, englobando este último a cualquier número mayor de dos.

I: Mono pensando

Más allá de suposiciones evolutivas difícilmente contrastables al 100%, podemos hablar de los primeros objetos arqueológicos encontrados que demuestran la aparición de conceptos matemáticos en antiguas culturas. La primera muestra de conceptos matemáticos en nuestros antepasados fue hallada en una cueva en Sudáfrica, y consiste en rocas de ocre adornadas con hendiduras con formas geométricas datadas en 70.000 años de antigüedad.

Adentrándonos en el campo de los números, la primera evidencia arqueológica la encontramos en el hueso de Lebombo, hallado en Suazilandia y datado en 35.000 años de antigüedad. Este objeto es un peroné de babuino con un total de 29 hendiduras que, según las excavaciones arqueológicas que se llevaron a cabo en 1973, fueron usadas por las mujeres de la época para mantener la cuenta de sus ciclos menstruales, ya que otros huesos y piedras se han encontrado con entre 28 y 30 hendiduras, existiendo siempre una marca significativa en la última.

Continuando con los restos arqueológicos, el siguiente hito lo encontramos en el hueso de Ishango, hallado cerca del nacimiento del río Nilo, al noreste del Congo y con una antigüedad de entorno a 20.000 años. Este hueso contiene una serie de marcas a lo largo de él divididas en tres columnas. La asimetría de estas muescas hace pensar que estas fueron utilizadas con fines más funcionales que decorativas.

II: Muescas en el hueso de Ishango

Se ha teorizado mucho sobre la verdadera utilidad de las muescas en esta muestra arqueológica, aunque fundamentalmente se barajan dos posibilidades. Por un lado que se trate de un calendario lunar de seis meses, y por otro que se traten de cálculos matemáticos. Lo primero sería solamente una ligera evolución sobre el hueso de Lebombo, así que centrándonos en la teoría matemática nos podemos encontrar con una gran peculiaridad interesante. La segunda de las tres columnas (b en el dibujo) presenta una serie de muescas agrupadas formando cuatro números (11, 13, 17, 19), conformando la primera secuencia de números primos registrada de la historia.

Pero si lo que queremos encontrar es un avance en las matemáticas que nos diferencie notablemente del resto del reino animal, nos tenemos que trasladar a las primeras civilizaciones conocidas de la India, en torno al año 3.000 a.C., donde se hayan las primeras evidencias de un sistema decimal, la aparición de ángulos rectos y formas geométricas complejas como conos o cilindros, así como reglas con subdivisiones pequeñas y precisas para establecer mediciones.

Luego llegarían las civilizaciones sumeria, egipcia y griega, cuyos avances son de sobra conocidos.

Fuentes y más información:

En búsqueda del número e

Milhaud — Thu, 17 Jun 2010 06:00:34 +0000

¿Qué es el número e? Si bien hace dos meses os hablaba del número pi y de lo fácil que es definirlo para que cualquier persona pueda entenderlo, el caso del número e no es tan fácil de definir, pero no por ello menos importante. Si el número pi es considerado como un número clave en la geometría, el número e es un número clave en el cálculo matemático.

I: Símbolo del número e

Al número e también se le conoce como Número de Euler o Constante de Napier. Precisamente éste último nombre se debe a la primera referencia a la existencia de esta constante que hay registrada. En 1618 John Napier introdujo el número e en unas tablas referenciadas en el apéndice de un estudio sobre los logaritmos. Pero en estas tablas, no daba un valor concreto para el número e, sino que simplemente daba una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta nueva constante.

Unos años más tarde, Jacob Bernoulli estudió el problema del interés compuesto. En él hacía cálculos sobre los beneficios de una cantidad de dinero con un interés anual del 100% dependiendo de los periodos en los que se pague a lo largo de un año. Elevando el número de periodos al límite, terminó hallando una ecuación que sin que el propio Bernoulli fuera consciente definió por primera vez el valor de la constante matemática e.

II: Ecuación de Bernoulli

Para encontrar el primer uso del número e, así como el primer cálculo de los primeros decimales nos tenemos que trasladar al ‘reinado matemático’ de Leonhard Euler. Euler se refirió por primera vez a la constante en 1727, y la mencionó con la letra e por primera vez en la publicación Mechanica de 1737. También fue el primero en definir una serie para facilitar un cálculo mediante fracciones continuas, y hallar de hecho los primeros 18 decimales del número e.

III: Fracciones continuas de Euler para calcular e

Con el paso de los años, aparecieron muchos otros métodos de cálculo para el número e, así como nuevas definiciones aprovechando la evolución del cálculo matemático. Todo esto permitió que el número de decimales conocidos del número e fuera en aumento, siendo William Shanks el primero en llegar a las 200 cifras en 1871, gracias otra de las definiciones del número e hecha por Euler mediante la suma infinita del inverso de factoriales, que permite con tan sólo los 25 primeros términos de la suma hallar los primeros 22 decimales.

IV: Serie con factoriales de Euler para calcular e

Al igual que en el caso del número pi, la llegada de la era computacional, ha hecho que el cálculo de los decimales de e se haya convertido en toda una obsesión, siendo el record actual el conseguido por Alexander J. Yee el pasado febrero con 500.000 millones de decimales.

Nota: Este artículo forma parte de la quinta edición del Carnaval de Matemáticas.

Fuentes y más información:

En búsqueda del número PI

Milhaud — Sat, 17 Apr 2010 11:26:38 +0000

¿Entonces qué es Pi? Su definición es simple, Pi es el cociente resultante de dividir la circunferencia de un círculo entre su diámetro. Por lo tanto, hallar el valor de Pi es tan sencillo como tomar un círculo cualquiera y medir su diámetro y su circunferencia. Dividiendo ambos números tenemos Pi… o más bien una aproximación a Pi, debido a las imprecisiones de las mediciones.

I: Símbolo de Pi

Esto sucede con cualquier círculo, por lo que si tenemos un círculo de un centímetro de diámetro sabemos que la circunferencia de ese círculo será Pi. Cuando estas mediciones se hacen a mano, normalmente llegamos a la conclusión de que Pi es un número que se encuentra entre 3,1 y 3,2. Pero si pudiéramos medir con absoluta precisión (algo imposible) conseguiríamos un decimal tras otro, tras otro y tras otro que nunca terminaría, y además, nunca se repetiría. Por ello, podemos decir que Pi es un número irracional, y por ende, sabemos que es un número que no se puede representar como fracción.

Arquímedes fue el primer matemático de la historia en intentar hacer un cálculo serio de Pi. Utilizando la geometría conocida en el año 200 a.C. fue capaz de determinar que Pi era mayor que 223/71, pero menor que 22/7.

II: Aproximación de Arquímedes

Pero la realidad es que el verdadero valor de Pi es 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510….

Al rededor de 600 años más tarde de la aproximación de Arquímedes, el matemático chino Zu Chongzhi mejoraría esta aproximación demostrando que el valor de Pi era mayor que 3,1415926 pero menor que 3,1415927, aproximación que se mantendría como la mejor durante los siguientes 900 años.

En el año 1400, el matemático indio Madhava descubrió una fórmula de Pi, que fue descubierta de forma independiente en Europa 200 años más tarde por los matemáticos James Gregory y Gottfried Leibniz, mejorando por primera vez desde el año 400 la aproximación de Zu Chongzhi, aunque esto únicamente se conseguía a partir de los 4000 términos de la serie.

III: Aproximación de Gregory-Leibniz / Madhava

En el siglo XVI, antes de que la aproximación de Gregory y Leibniz fuera dada a conocer en Europa, Francosi Viete descubrió otra formula para el cálculo de Pi basada exclusivamente en el número 2. Esta fórmula converge con Pi muy lentamente, lo que sumado a la complejidad de los cálculos necesarios y el hecho de que la propia raíz de 2 es irracional en sí misma hace que esta fórmula sea muy poco efectiva.

IV: Aproximación de Viete

Otra fórmula fue descubierta en el siglo XVII por John Wallis, tratandose en este caso de un producto infinito. La convergencia de esta fórmula es tan lenta como en el caso de la fórmula de Viete, ya que son necesarios nada menos que 60 términos para conseguir una aproximación de Pi correcta en un decimal.

V: Aproximación de Wallis

En el siglo XVIII, John Machin descubrió otra aproximación a Pi. En este caso sí que supone una mejora sustancial respecto a las fórmulas existentes hasta la fecha, ya que con relativamente pocos términos ya se consigue mejorar la aproximación de Zu Chongzhi.

VI: Aproximación de Machin

Pero si bien es cierto que todas estas fórmulas son loables aproximaciones, ninguna puede aproximar ni de lejos la precisión que consiguió Srinivasa Ramanujan con su obra maestra. En su corta vida (1887 – 1920) fue capaz de descubrir una fórmula que mejoraba la precisión de sus predecesoras con creces. Esta serie, al contrario que todas las anteriores, converge a Pi de forma exponencial, siendo capaz con un único término de dar una precisión de seis decimales. Lo que aún es más fascinante si cabe, es el hecho de que Srinivasa Ramanujan consiguió esto sin ningún tipo de formación académica.

VII: Aproximación de Ramanujan

Pero pese al hecho de que un físico necesita únicamente 39 dígitos de Pi para hacer un círculo del universo observable con la precisión de un átomo de hidrógeno, el cálculo de decimales de Pi se ha convertido en una curiosidad matemática, una especie de reto a superar. Con la llegada de la era computacional, y la mejora constante de los ordenadores, cada pocos años se han ido consiguiendo nuevos records de decimales de Pi, siendo el record actual el conseguido por Fabrice Bellard de 2,7 billones de decimales.

Fuentes y más información:
- In Pursuit of Pi
- Nuevo record de computación de cifras del número Pi
- Archimedes’ constant pi
- Srinivasa Ramanujan
- Historia de Pi

Nota: Este artículo forma parte de la tercera edición del Carnaval de Matemáticas.
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Otras entradas que pueden resultar interesantes:

Geometría de los copos de nieve

Milhaud — Tue, 09 Mar 2010 13:37:34 +0000

La geometría de los copos de nieve fue reconocida por primera vez en 1611 por Kepler, con la publicación la primera descripción de la geometría hexagonal de los copos de nieve en un estudio titulado “De nive sexangula” a modo de regalo de navidad a Rodolfo II de Habsburgo

La forma de los copos de nieve está determinada por la temperatura y humedad a la cual se han formado. Como bien apuntó Kepler en ese estudio, los copos de nieve adoptan comúnmente una forma geométrica basada en el hexágono, aunque dependiendo de las condiciones de humedad y temperatura, se pueden llegar a formar copos de nieve cuya geometría está basada en el triángulo o el dodecágono.

Wilson Alwyn Bentley intentó en 1885 identificar copos de nieve identicos fotografíando miles de ellos con un microscopio, encontrando la gran variedad de geometrías conocida a día de hoy, pero no consiguió encontrar dos que fueran identicos, por lo que planteo la teoría de que no pueden existir dos copos de nieve idénticos. Teniendo en cuenta que en cada copo de nieve hay del orden de 10^18 moléculas de agua, que se estructuran de distinto modo en función de la temperatura, humedad y altura de la atmósfera a la que se hayan formado, era una afirmación factible.

No fue hasta 1988 cuando un equipo en Wisconsin demostró que dos copos de nieve pueden ser totalmente idénticos si el entorno en el que se forman es suficientemente parecido. Con distintos experimentos, consiguieron demostrar que sí que existen copos de nieve idénticos, pero estos se correspodían con prismas huecos en vez de los copos comúnmente conocidos.

A lo largo de la historia, han sido muchos los intentos de clasificar los diferentes copos de nieve, pero debido a su complejidad, es imposible determinar un único modo de clasificarlos, o de darle nombre a todas las posibles formas. Entre las clasificaciones más comunes está la que se muestra en la imagen superior con un total de 35 diferentes tipos, la de la Comisión Internacional de Nieve y Hielo basada en 7 tipos básicos con varias modificaciones, la clasificación de Nakaya con un total de 41 tipos de copos de nieve, y la clasificación de Magono and Lee, la más compleja hasta la fecha con un total de 80 tipos de cristales.

A continuación, os muestro con fotos de miscroscopio, algunas de las formaciones de copos de nieve conocidas más comunes.

1. Prismas Simples

Los primas simples son la geometría más básica de los copos de nieve. Su forma puede variar desde finos prismas hexagonales hasta finas láminas hexagonales. Su tamaño suele ser tan pequeño que apenas se pueden ver a simple vista durante una nevada.

I: Prismas Simples

2. Láminas estrelladas

Esta forma común de copos de nieve son cristales de hielo laminado con seis brazos suficientemente anchos como para formar una estrella. Comúnmente tienen los bordes decorados con marcas simétricas que los hacen quasi-únicos.

II: Láminas estrelladas

3. Láminas sectoriales

Las láminas estrelladas comúnmente muestran crestas distintivas que van desde el centro del copo hasta los vértices del hexágono. Cuando estas crestas son especialmente prominentes, los copos de nieve se denominan láminas sectoriales.

III: Láminas sectoriales

4. Dendritas estelares

Dendrita, al igual que las células del cerebro, se refiere a la forma de árbol, por lo que las dendritas estelares son el tipo de copo de nieve que tiene seis ramas principales con más ramas secundarias en cada una de las ramas principales. Estos copos de nieve tienen típicamente entre 2 y 4 milímetros, por lo que son fáciles de ver a simple vista.

IV: Dendritas estelares

5. Dendritas estelares con forma de Helecho

Este tipo de copos de nieve son una variación del tipo anterior en el que las ramas principales tienen tantas ramificaciones que asemejan cada una con la forma de un helecho. Este tipo de copos de nieve son los más grandes que comúnmente caen sobre la tierra, alcanzando en muchas ocasiones más de 5 milímetros de diámetro.

V: Dendritas estelares con forma de Helecho

6. Columnas huecas

Las columnas hexagonales en muchas ocasiones presentan regiones cónicas en sus extremos, formando las denominadas columnas huecas. Este tipo de cristales tienen un tamaño excesivamente pequeño que no permite a simle vista ver los huecos, necesitando para ello un buen microscopio.

VI: Columnas huecas

7. Agujas

Las agujas son finas columnas de cristal que se generan a una temperatura en torno a 5ºC bajo cero. Se pueden observar a simple vista y se asemejan a canas de pelo.

VII: Agujas

8. Columnas tapadas

Estos cristales primero se forman como columnas, y cuando pasan por una región de nubes se forman láminas en sus extremos. El resultado son dos láminas de cristal unidas por una columna de hielo. Este tipo de copos de nieve no aparecen en todas las nevadas, pero son fácil de encontrar si se buscan expresamente.

VIII: Columnas tapadas

9. Láminas dobles

Las láminas dobles son columnas tapadas con una columna central especialmente cortal. Por esta razón, al formarse las láminas de los extremos, su proximidad hace que una se forme mucho más rápido que la otra, quedando como resultado una pequeña lámina conectada a otra mucho más grande.

IX: Láminas dobles

10. Cristales triangulares

Las láminas en concretas ocasiones, cuando la temperatura es de entorno a -2ºC, pueden tomar forma triangular, generando cristales triangulares. Esta forma rara de la lámina estelar es relativamente rara.

X: Cristales triangulares

11. Cristales dodecagonales

En algunas ocasiones concretas, las columnas tapadas se giran 30º. Cuando esto sucede, si las láminas de los extremos son ambas cristales hexagonales, se termina formando un cristal con doce ramas, creando un cristal dodecagonal.

XI: Cristales dodecagonales

12. Nieve artificial

Las máquinas de nieve artificial sueltan finas gotas de agua que son congeladas justo antes de su expulsión. Por ello, la nieve resultante no se asemeja en nada a la nieve formada naturalmente.

XII: Nieve artificial

Nota: Este artículo forma parte de la primera edición del Carnaval de Matemáticas.

Fuentes y más información:

Matemática ornamental: Mosaicos homogéneos

Milhaud — Tue, 09 Feb 2010 11:42:07 +0000

Como ya Santo Tomás de Aquino dijo en el siglo XIII, la armonía de proporciones satisface los sentidos. Es una realidad que el hombre suele aprobar instintivamente formas geométricas que se rigen por leyes determinadas, tanto si forman parte de la naturaleza, el caso de las colmenas, así como si son obras de su propia mano.

I: Mosaico regular en una colmena

Por geometría elemental, sabemos que la suma de las medidas de los tres ángulos de un triángulo cualquiera siembre vale 180º. Esto es extrapolable a polígonos de mayor número de lados mediante la fórmula S = (n-2)•180º. Dado que todos los lados y ángulos de un polígono regular son iguales entre sí, para hallar el valor del ángulo, únicamente tendríamos que dividir su suma entre el número de lados del polígono. Resultándonos la siguiente tabla.

II: Tabla de ángulos de polígonos regulares

Cuando utilizamos uno de estos polígonos para recubrir un plano por completo, sin dejar intersticios y sin superponerse, estamos creando un mosaico. Para que este mosaico sea regular, además de que sólo utilicemos un tipo de figura, es necesario que los vértices de todos los polígonos estén en contacto entre sí. La suma de todos los ángulos que convergen ha de ser 360º, por lo que consultando la tabla anterior se puede comprobar que sólo se puede conseguir un mosaico regular con tres tipos de polígonos regulares: triángulos, cuadrados y hexágonos.

Además de los mosaicos regulares, también existen los mosaicos semirregulares, que son aquellos que se obtienen utilizando simultáneamente dos o más tipos de polígonos regulares para cubrir una superficie, ensamblándolos por sus vértices de modo que rodeen cada vértice en el mismo orden. El conjunto de mosaicos regulares y mosaicos semirregulares se conoce como mosaicos homogéneos

Un mosaico semirregular es aquel que se obtiene utilizando simultáneamente dos o más tipos de polígonos regulares para cubrir una superficie, ensamblándolos por sus vértices de modo que rodeen cada vértice en el mismo orden. El conjunto de los mosaicos regulares y los mosaicos semirregulares forman lo que llamamos enlosados o mosaicos homogéneos.

En cada vértice de un mosaico homogéneo es preciso que la suma de los ángulos de los polígonos en contacto sea igual 360º. Observando la tabla superior, podemos comprobar que los ángulos más pequeños de un polígono regular son los de un triángulo con 60º y ninguno supera los 180º, por lo que de inmediato se deduce que el número de polígonos rodeando un vértice de un mosaico regular estará entre 3 y 6 polígonos.

Existen sólo 11 tipos de mosaicos homogéneos y todos son el resultado de diversas combinaciones de triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Ocho de ellos son semirregulares y los tres restantes son los mosaicos regulares mencionados previamente.

Para precisar la composición de cada uno de estos mosaicos se suelen escribir los polígonos que intervienen en un vértice en el orden en que se presentan. Esta información se abrevia mediante un simple símbolo. Por ejemplo: 3²•4•3•4 significa que en cada vértice hallamos, por orden, dos triángulos, un cuadrado, un triángulo y un cuadrado.

III: Mosaicos homogéneos

Más allá de los mosaicos homogéneos, nos encontramos con infinidad de tipos de mosaicos que van desde los mosaicos simétricos del Alcázar de Sevilla o la Alhambra de Granada, hasta los mosaicos con motivos religiosos del arte griego, pero eso es ya otra historia que contar.

Fuentes y más información:
- Según Tomás de Aquino
- Enciclopedia Salvat del Estudiante

Nota: Este artículo forma parte de la primera edición del Carnaval de Matemáticas.
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Otras entradas que pueden resultar interesantes:

¿Por qué un día tiene 24 horas?

Milhaud — Thu, 14 Jan 2010 11:36:15 +0000

Todos tenemos claro que es fácil saber por qué un año es un año, por qué un día es un día y por qué hay 365 días en un año, con algunos años bisiestos de ajuste. Todos hemos leído y estudiado sobre eso. Lo que poca gente sabe es por qué los días tienen 24 horas.

En primer lugar hay que tener en cuenta que los sistemas de numeración no siempre han sido iguales. Antiguas civilizaciones tales como los egipcios y sumerios tenían un sistema duodecimal en vez del sistema decimal que hoy es utilizado en el mundo entero.

La razón para la utilización de un sistema duodecimal tenía una tan lógica como la que podemos tener para la utilización de un sistema decimal (contando con los 10 dedos de las manos). El sistema se basaba en contar las falanges de los 4 dedos de una mano con el pulgar, de tal modo que una vez se hubieran contado los cuatro dedos, tendríamos doce segmentos, tal y como muestra la imagen inferior

I: 12 falanges de una mano numeradas

Por esta razón, los egipcios dividieron los días en 12 horas, siendo una hora para el amanecer, otra para el atardecer y las 10 restantes para contar el tiempo de luz, y la noche la dividieron del mismo modo en 12 horas.

Las horas del día las medían mediante los conocidos relojes solares y su sombra. Por este motivo, las horas no eran tal y como las conocemos hoy en día, si no que variaban su duración dependiendo de la época del año en la que estuviésemos.

Las horas de la noche, ante la evidente ausencia de luz, eran medidas mediante estrellas que identifican a los 3 decanos de cada uno de los 12 signos zodiacales. Durante el periodo desde la puesta del sol hasta el amanecer aparecen en el cielo un total de 18 de estas estrellas. Las tres primeras y las tres últimas estaban asociadas al atardecer y amanecer respectivamente, quedando las 12 estrellas que dividían las horas de la noche.

II: Decanos del zodiaco

Las horas no dividieron el día de forma equitativa hasta que los griegos decidieron que necesitaban un sistema regular para realizar cálculos. Hiparco de Nicea propuso la división del día en 24 horas de todos los días del año al igual que se dividen las horas en los equinocios (el mismo tiempo de día que de noche). El pueblo llano siguió usando la medición histórica hasta la invención de los relojes mecánicos en el siglo XIV en Europa, que fue cuando este sistema se extendió.

Fuentes y más información: