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Georg Cantor, el club de Groucho y el tamaño del infinito


Publicado el 3/07/2011

Georg Cantor ha pasado a la historia por ser el matemático que, junto a Richard Dedekind y Gottlob Frege, introdujo la novedosa teoría de conjuntos. Aún así, son muchos los que prefieren admirarle por osar adentrarse en las complejas teorías del infinito, siendo el primero en exponer que no existe un único infinito y que unos pueden ser más grandes que otros.

Esto es algo que a priori puede resultar poco intuitivo, de hecho, es algo que nadie se había atrevido a afrontar hasta que Cantor lo hizo. Pero Cantor contaba con una herramienta que todos sus predecesores no habían tenido, la teoría de conjuntos de la que se le puede considerar padre.


I: Georg Cantor

Primero, antes de adentrarnos en materia, un concepto muy simple: siempre hay más conjuntos de cosas que cosas. Esto se puede mostrar de forma intuitiva con un conjunto finito de elementos, por ejemplo dos {a, b}. Con dos elementos, podemos sacar un total de cuatro conjuntos: {a}, {b}, {ø} y {a, b}. ¿Pero qué sucede si intentamos expandir esto hasta el infinito?

Para explicar esto, Cantor recurrió a imaginar un mundo en el que viviera un número infinito de personas. En ese mundo, existirían todos los clubs posibles. El menos exclusivo de todos los clubs sería el club universal, aquel que tendría como miembros a todos los habitantes del mundo. En el otro extremo estaría el club más exclusivo, el club vacío, del que ninguna persona podría ser miembro. Todos estamos de acuerdo en que, si existe un número infinito de personas, el número de clubes también tiene que ser infinito. Pero, ¿cómo de grande es este infinito?

Si queremos demostrar que el infinito número de personas y el infinito número de clubes son el mismo infinito (o más correctamente, tienen el mismo tamaño), tendremos que conseguir emparejar a los elementos del primer grupo con los elementos del segundo grupo uno a uno. Si hacemos esto, nos encontraremos con que unas personas estarían emparejadas con clubes de los que formarían parte, mientras que otras estarían emparejadas con clubes de los que no formarían parte.

Ahora supondremos un club posible dentro de ese número infinito de clubes. Este club, al que Georg Cantor llamó el club de Groucho, estaría formado por todas las personas que están emparejadas con un club del que no forman parte. Como el emparejamiento entre clubes y personas tiene que ser completo, tendrá que existir una persona que también esté emparejada con el club de Groucho.


II: Símbolo del infinito (fuente)

Y aquí llega lo interesante. La persona que está emparejada con el club de Groucho, ¿es miembro del club de Groucho o no? Supongamos que sí que es miembro del club de Groucho. Eso significaría que el debe ser excluido del club con el que está emparejado, de tal modo que no sería miembro del club de Groucho. Pero si no es miembro del club de Groucho, estaría emparejado con un club del que no es miembro, por lo que debería ser miembro del club de Groucho.

No importa las vueltas que demos al asunto que siempre llegaremos a la misma contradicción. ¿Y cómo hemos llegado a esta contradicción? Suponiendo que las personas no pueden emparejarse uno a uno con los clubes. Por lo tanto, esta suposición tiene que ser falsa, lo que implica que el infinito del grupo de cosas es mayor que el infinito de cosas.

Esto, que explicado así puede parecer evidente, a Georg Cantor le supuso un aluvión de críticas. Como siempre, las más persistentes fueron del sector más conservador y cercano a la iglesia, que veían el concepto de infinito como una amenaza a la propia idea de Dios. Pero también obtuvo críticas de matemáticos coetáneos alejados de la iglesia, como Leopold Kronecker.

En cualquier caso, las ideas de Cantor supusieron una gran revolución a las matemáticas, tirando y reconstruyendo muchos de los pilares en los que se había sustentado las matemáticas durante siglos.

Nota: Aunque tarde, este artículo forma parte del Carnaval de Matemáticas 2.5., esta vez en Juegos Topológicos, el blog de Mago Moebius.

Fuentes y más información:


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6 comentarios

  1. Antonio
    4/07/2011 @ 09:18

    Jeje, por un momento me he visto en clase de álgebra. Siempre se avanza cuando se replantea la validez de los límites. Una pregunta (para conjuntos casi infinitos): conjunto de partículas y conjuntos de conceptos, ¿en que conjunto habrá más elementos?

    [Responder]

  2. Mago Moebius
    14/07/2011 @ 14:38

    ¡Gracias por participar en el carnaval! Puedes ver el resumen completo y dejar tu voto a la mejor entrada en

    http://topologia.wordpress.com/2011/07/02/resumen-de-la-edicion-2-5-del-carnaval-de-matematicas/

    [Responder]

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