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Mandelbrot: ¿Cuál es la longitud de la costa de Gran Bretaña? Infinito


Publicado el 18/10/2010

A lo largo de este fin de semana en Twitter comenzaron a aparecer rumores sobre la muerte de Mandelbrot el pasado 15 de Octubre. Lamentablemente, a lo largo del sábado varios medios fueron confirmando la noticia convirtiéndolo en un hecho. Desde entonces, los homenajes en la blogosfera hispana se han sucedido, como los que podemos encontrar en Amazings.es, Microsiervos, Enchufa2 o Francis: (th)E mule Science’s News. Yo por mi parte, quiero homenajearle contando una anécdota con la que revolucionó el mundo de la geometría.


I: Benoît Mandelbrot

Los matemáticos siempre consideraron a Benoît Mandelbrot un tipo especial, incluso eran muchos los que excluían del campo de las matemáticas. Pero él siempre se sintió orgulloso de ser un osado que intentaba encontrar nuevos prismas con los que observar de otro modo la realidad. Investigó la teoría de juegos, la distribución de palabras en la literatura e incluso se adentró con éxito en la ciencia económica, estudiando la distribución de las grandes y las pequeñas rentas en una economía.

Todas estas ideas revolucionarias revoloteaban en la cabeza de Mandelbrot gracias a su heterodoxo modo de concebir las matemáticas. Pero todos estos estudios se convirtieron en convencionales cuando un artículo de Lewis F. Richardson cayó en las manos de Mandelbrot. En ese artículo, Richardson estaba intrigado por qué al comparar distintas enciclopedias la longitud de las costas de países como España, Portugal o Bélgica tenían discrepancias de hasta un 20% de una a otra. ¿Cuál era la razón de diferencias tan grandes al medir algo conocido por todos? ¿Por qué los españoles cuando medían su frontera obtenían un valor distinto al que obtenían los portugueses midiendo la misma frontera?

En 1967, Mandelbrot presentó su artículo How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension en un congreso científico dejando perplejos a todos los asistentes. Mandelbrot preguntó directamente a sus colegas cuál era la longitud de Inglaterra, sin obtener una respuesta concisa de ninguno de ellos. Algunos optaron por decir simplemente que no era su campo, mientras que otros se aventuraron a buscarlo en la enciclopedia. Pero para Mandelbrot ambas respuestas fueron insatisfactorias. La única respuesta precisa posible a esa pregunta era una: infinito.


II: Medición de Gran Bretaña con 200Km de segmento

Los topógrafos, cuando se aventuran a medir la longitud de una línea costera utilizan un metro o compás de longitud definida. Pongamos que utilizan tramos rectos de 200km para medir la costa de la isla de Gran Bretaña. El resultado que obtendrán será aproximadamente de 2.400Km, tal y como muestra la imagen superior.

Cualquiera puede determinar que esta aproximación es burda y harto de imprecisa. Entonces será mejor que tomemos un tramo recto de medición menor, 50Km por ejemplo. En este caso, el resultado de la medición de la longitud de la costa será superior al caso anterior, 3.400Km. La explicación es sencilla, ya que ahora hemos tenido la oportunidad de medir rescoldos que antes habían quedado totalmente obviados. ¿Pero es esta aproximación suficiente? Seguramente no.


III: Medición de Gran Bretaña con 50Km de segmento

En 50 Km de distancia estaremos obviando multitud de cabos y bahías que aumentarían la línea costera. Pero ¿dónde se encuentra el límite a esta medición? El sentido común nos haría pensar que en algún punto las estimaciones terminarían convergiendo llegando al verdadero valor de la longitud costera. Y esto sería cierto si la línea costera mantuviera una geometría euclídea, la geometría que todos hemos aprendido, pero la realidad es que la naturaleza no se rige por la geometría euclídea.

Mandelbrot halló que a medida que la escala de medida se hace más pequeña, la longitud del litoral costero crece sin límite. Tan sólo cuando se llega a escala atómica se puede terminar ese proceso recurrente, y eso suponiendo que en algún momento encontremos las partículas elementales e indivisibles a las que apuntan todas las teorías modernas.


IV: Fractal: Conjunto de Mandelbrot

Si bien Mandelbrot en aquel artículo de 1967, ni en el congreso en el que presentó el artículo, mencionó en ningún momento el término fractales, este fue el comienzo de la concepción de la geometría fractal. No sería hasta 1975 cuando Mandelbrot introduciría este término con el que revolucionó un campo de las matemáticas que estaba intacto desde la antigua Grecia, la geometría.

Nota: Este artículo forma parte de la séptima edición del Carnaval de Matemáticas.

Fuentes y más información:


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7 comentarios

  1. Míriam
    18/10/2010 @ 23:10

    Primero que nada darte la enhorabuena por esta introducción que has hecho a los fractales en honor a Mandelbrot.
    Me acabo de enterar de su muerte ya que estos días no he estado muy pendiente de las noticias, pero sin lugar a duda, es una pérdida que muchos notaran.
    Personalmente me considero muy poco enterada del gran mundo de los fractales (sólo lo sé lo que un gran físico nos introdujo en una conferencia el año pasado), espero poder llegar a saber mucho más, aspiro a estudiar matemáticas y espero estudiar muy a fondo este tema.
    ¡Enhorabuena otra vez por esta gran entrada!

    [Responder]

  2. MiGUi
    20/10/2010 @ 11:00

    Creo que para evitar suspicacias y malentendidos no estaría de más aclarar que no hay ningún problema en que una frontera de longitud infinita esté acotada en una región finita del espacio o que envuelva una superficie finita.

    Es parecido al problema de Zenón y la tortuga.

    Todo depende realmente del concepto de medida y de dimensión, algo que en los fractales se complica un pelín.

    Véase por ejemplo: http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_Hausdorff

    [Responder]

  3. vinti
    29/10/2010 @ 21:32

    Brillante!

    [Responder]

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