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Matemática ornamental: Mosaicos homogéneos


Publicado el 9/02/2010

Como ya Santo Tomás de Aquino dijo en el siglo XIII, la armonía de proporciones satisface los sentidos. Es una realidad que el hombre suele aprobar instintivamente formas geométricas que se rigen por leyes determinadas, tanto si forman parte de la naturaleza, el caso de las colmenas, así como si son obras de su propia mano.


I: Mosaico regular en una colmena

Por geometría elemental, sabemos que la suma de las medidas de los tres ángulos de un triángulo cualquiera siembre vale 180º. Esto es extrapolable a polígonos de mayor número de lados mediante la fórmula S = (n-2)•180º. Dado que todos los lados y ángulos de un polígono regular son iguales entre sí, para hallar el valor del ángulo, únicamente tendríamos que dividir su suma entre el número de lados del polígono. Resultándonos la siguiente tabla.


II: Tabla de ángulos de polígonos regulares

Cuando utilizamos uno de estos polígonos para recubrir un plano por completo, sin dejar intersticios y sin superponerse, estamos creando un mosaico. Para que este mosaico sea regular, además de que sólo utilicemos un tipo de figura, es necesario que los vértices de todos los polígonos estén en contacto entre sí. La suma de todos los ángulos que convergen ha de ser 360º, por lo que consultando la tabla anterior se puede comprobar que sólo se puede conseguir un mosaico regular con tres tipos de polígonos regulares: triángulos, cuadrados y hexágonos.

Además de los mosaicos regulares, también existen los mosaicos semirregulares, que son aquellos que se obtienen utilizando simultáneamente dos o más tipos de polígonos regulares para cubrir una superficie, ensamblándolos por sus vértices de modo que rodeen cada vértice en el mismo orden. El conjunto de mosaicos regulares y mosaicos semirregulares se conoce como mosaicos homogéneos

Un mosaico semirregular es aquel que se obtiene utilizando simultáneamente dos o más tipos de polígonos regulares para cubrir una superficie, ensamblándolos por sus vértices de modo que rodeen cada vértice en el mismo orden. El conjunto de los mosaicos regulares y los mosaicos semirregulares forman lo que llamamos enlosados o mosaicos homogéneos.

En cada vértice de un mosaico homogéneo es preciso que la suma de los ángulos de los polígonos en contacto sea igual 360º. Observando la tabla superior, podemos comprobar que los ángulos más pequeños de un polígono regular son los de un triángulo con 60º y ninguno supera los 180º, por lo que de inmediato se deduce que el número de polígonos rodeando un vértice de un mosaico regular estará entre 3 y 6 polígonos.

Existen sólo 11 tipos de mosaicos homogéneos y todos son el resultado de diversas combinaciones de triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Ocho de ellos son semirregulares y los tres restantes son los mosaicos regulares mencionados previamente.

Para precisar la composición de cada uno de estos mosaicos se suelen escribir los polígonos que intervienen en un vértice en el orden en que se presentan. Esta información se abrevia mediante un simple símbolo. Por ejemplo: 32•4•3•4 significa que en cada vértice hallamos, por orden, dos triángulos, un cuadrado, un triángulo y un cuadrado.


III: Mosaicos homogéneos

Más allá de los mosaicos homogéneos, nos encontramos con infinidad de tipos de mosaicos que van desde los mosaicos simétricos del Alcázar de Sevilla o la Alhambra de Granada, hasta los mosaicos con motivos religiosos del arte griego, pero eso es ya otra historia que contar.

Fuentes y más información:
- Según Tomás de Aquino
- Enciclopedia Salvat del Estudiante

Nota: Este artículo forma parte de la primera edición del Carnaval de Matemáticas.
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13 comentarios

  1. Amando Carabias
    9/02/2010 @ 13:35

    La proporción es aromonía y para el arte es necesaria una buena dosis de armonía.

    [Responder]

  2. Domingo
    9/02/2010 @ 19:41

    Muy didáctico el “post”. Ha sido como volver a la escuela. :)

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    marina machuca trujillo Reply:

    hola estoy de acuerdo contigo, parece que estoy recordando mis viejos tiempos.

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  3. Carlos
    9/02/2010 @ 20:19

    Buen artículo, la explicación de que hay 3 tipos de figuras para hacer mosaicos regulares me ha recordado a la explicación de que hay 5 sólidos platónicos (y no más).

    Como la fórmula S = (n-2)•180º no es muy conocida, yo habría usado que un polígono regular de n lados se puede descomponer como n triángulos con todos un vértice común en el baricentro y de ahí sale fácil los ángulos (o incluso la fórmula que has dado).

    Saludos

    [Responder]

    Milhaud Reply:

    @Carlos, quería evitar las demostraciones matemáticas y más complejas, así que simplemente lo di por hecho para que nadie se aburriera al leerlo ;)

    [Responder]

  4. India
    9/02/2010 @ 22:11

    Leyendo información sobre fotografía,recuerdo que explicaban cómo sin siquiera ser conscientes de ello,nuestro cerebro toma por bellas las imágenes que guardan cierta simetría y/o armonía en sus formas…cómo un horizonte se prefiere trazado en horizontal,sin pendientes,cómo los encuadres se conforman…Siempre me ha fascinado tanto en el arte como en la arquitectura y en la arquitectura artística o en el arte arquitectónico,cosas que parecen no tener una función más que estética están perfectamente conjuntadas entre sí y las funcionales,algo que impacta por magnitud y presencia como es una bóveda en una catedral,si te fijas un poco más y lees sobre cómo y por qué de esa forma…acabas dándote cuenta de que nada es tan simple y todo es tan simple,lo sencillo se puede argumentar con teorías y las largas teorías simplificar con un ejemplo que por bello te deje sin palabras…
    Aplauso una vez más y las que seguirán viniendo,maestro!
    Achuchones!!

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  5. CantaEnAyunas
    10/02/2010 @ 22:46

    Extrapolando los mosaicos regulares sobre el plano a las 3 dimensiones, sería interesante conocer la explicación matemática de por qué solo existen 5 poliedros regulares:
    - tetraedro: 4 triángulos equiláteros
    - hexaedro o cubo: 6 cuadrados
    - octaedro: 8 triángulos equiláteros
    - dodecaedro: 12 pentágonos
    - icosaedro: 20 triángulos equiláteros

    O cuántos poliedros semiirregulares existen: uno sería el balón de fútbol, compuesto por hexágonos y pentágonos.

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    Milhaud Reply:

    @CantaEnAyunas, una entrada mucho más compleja podría ser, pero me lo apunto para más adelante. Gracias

    [Responder]

  6. antonio
    11/02/2010 @ 12:43

    Curiosa la notación abreviada para definir mosaicos, y más curiosos el 3.4.6.4 y el 3^2.4.3.4 (que caos mas bien organizado)

    (abro un melón, por si algún día merece un post completo, dibujos a partir de números complejos)

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  7. vinti
    12/02/2010 @ 17:32

    Armonía, geometría, música, arquitectura, naturaleza, arte, matemáticas…¡Que belleza que diría cualquier griego!.
    Milhaud eres un renacentista!!!

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  8. AnGiE RuIZz
    20/09/2011 @ 01:45

    Sus comentarios son los mejores y gracias esa informacion me sirvio de mucho gracias a eso gane la evaluacion jmm pero q DIOS LOS BENDIGa HOY Y SIEMPRE AMEN………

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  9. ANONIMO
    27/06/2012 @ 04:47

    es bastante buena su informacion
    sin embargo es estupido que no pongan imagenes de los poligonos que muestran en los cuadros de angulos. procuren agregar mas imagenes.

    [Responder]

  10. DVFBBNHH
    1/03/2013 @ 22:30

    HFOAJFDSUDSFJCV

    [Responder]

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